Fonctions trigonométriques Fonction trigonométriques
Nous commençons un chapitre que certains peuvent trouver effrayant à cause de ces fameuses formules trigo qu'ils ont déjà eu à retenir... Pas de panique ! On risque bien sûr de ressortir quelques formules, mais on étudiera surtout des fonctions trigonométriques (dérivées, signes, variations, limites, etc. )... ... ces fonctions trigo, nous en avons déjà entendu parler, ce sont les fonctions sinus et cosinus. Elles sont liées au cercle (trigo) et permettent de représenter toutes sortes de phénomènes périodiques (et circulaires). Les fonctions trigonométriques sont au coeur de nombreux modèles physiques :
Astronomie
Acoustique
 La liste est longue car on pourrait ajouter, la cartographie, la chimie, la géophysique, la cristallographie, les sciences économiques, l'électronique, l'imagerie médicale, la météorologie, la théorie de la musique, la théorie des nombres, etc. Les fonctions trigonométriques permettent aux graphistes de paramétrer des animations hyptnotisantes de ce type : D'ailleurs, avez-vous essayé de cliquer autour du titre de ce chapitre ? La trigo est donc à la foi un outil théorique puissant pour toutes les sciences et la preuve d'une certaine "beauté mathématique". Mais il faut bien sûr se confronter à son côté technique pour l'apprécier, ce que nous allons faire dans ce chapitre, avec enthousiasme, après quelques rappels... On appelle cercle trigonométrique dans un repère orthonormé $(O;I;J)$ le cercle de centre $O$ et de rayon 1. Le cercle trigo est à la base de tout raisonnement, et est utile afin de comprendre pourquoi on abandonne les degrés au profit des radians comme unité d'angle : L'angle orienté $\Theta$ (en radian) $(\vec{OI};\vec{OM})$ correspond à la longueur de l'arc $\stackrel{\frown}{IM}$ par enroulement de la droite réelle sur le cercle : Les fonctions sinus et cosinus sont ainsi définie pour pour se repérer sur le cercle trigo et par exemple décrire des mouvements circulaires : Le sinus $sin(\Theta)$ et le cosinus $cos(\Theta)$ correspondent aux coordonnées de $M$ dans le repère $(O;I;J)$ : $$ M(cos(\Theta);sin(\Theta)) $$ Toujours dessiner un cercle trigo au brouillon ou dans la marge quand on travaille avec des fonctions trigo... On peut compléter les valeurs suivantes pour obtenir les cosinus et sinus des angles remarquables : Par les différentes symétries, on obtient :
La fonction cosinus, définie de $\mathbb{R}$ dans $[1;-1]$ associe à tout réel $t \in \mathbb{R}$, la valeur de son cosinus : $$ cos : t \longrightarrow cos (t) $$ La fonction sinus, définie de $\mathbb{R}$ dans $[1;-1]$ associe à tout réel $t \in \mathbb{R}$, la valeur de son sinus : $$ sin : t \longrightarrow sin (t) $$ Dire que ces fonctions sont définies de $\mathbb{R}$ dans $[1;-1]$, par rapport au cercle trigo, signifie que l'on peut considérer des angles $t$ de valeurs arbitraires, directs ou indirects et que les valeurs du cosinus et du sinus sont bornées par le rayon $r=1$ du cercle.
  • La fonction cosinus est paire : pour tout $t\in\mathbb{R}$, $cos (-t) = cos (t)$
  • La fonction sinus est impaire : pour tout $t\in\mathbb{R}$, $sin (-t) = sin (t)$
  • La courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (commes la fonction carré $x^2$)
  • La courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère (commes la fonction cube $x^3$)
Les fonctions sinus et cosinus sont $2 \pi$-périodiques :
  • Pour tout $t\in\mathbb{R}$, $cos (t + 2 \pi) = cos (t)$
  • Pour tout $t\in\mathbb{R}$, $sin (t + 2 \pi) = sin (t)$

Une fonction périodique de période $T$ (ici $T=2 \pi$) se trace d'abord sur l'intervalle $[-\frac{T}{2};\frac{T}{2}[$ (ou parfois sur $[0;T]$).

Le reste de la courbe s'obtient par translations successives de vecteur horizontal $T \vec{i}$.

Les propriétés précédentes de parité et de périodicité nous permettent de déduire l'allure générale des courbes représentatives : La courbe de la fonction cosinus est superposable à celle de la fonction sinus. En fait, elle est la même courbe déphasée de $\frac{\pi}{2}$. C'est ce que traduit la formule trigo suivante : $$ cos(x) = sin(x + \frac{pi}{2}) $$ Si vous ne craignez pas les formules trigo, vous trouverez un pense-bête ci-dessous :
BOUH !
C'était une blague... en vrai c'est beaucoup plus effrayant : Mais pour rester (un peu) sérieux, une bonne technique est de ne retenir que le premier quart du cercle trigo et de déduire les autres par symétrie, comme on l'a déjà fait pour les valeurs remarquables.
Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur $mathbb{R}$ : $$ cos'(t) = - sin (t) \text{ et } sin'(t) = cos (t) $$ Leurs dérivées nous permettent d'étudier les variations des fonctions cos et sin, et donc de confirmer l'allure générale des courbes représentatives.

Etude de signe des fonctions trigo :

A l'aide du cercle trigo, on déduit le signe des fonctions sinus et cosinus :
$$ \begin{array}{c|lcccr|} t &-\pi & & \frac{-\pi}{2} & & \frac{\pi}{2} & & \pi\\\hline cos (t) & & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|lcccr|} t &-\pi & & 0 & & \pi\\\hline sin (t) & & - & 1 & + & \\ \hline \end{array} $$

Etude du sens des variations

$$ \begin{array}{c|lcccr|} t & -\pi & & \frac{-\pi}{2} & & \frac{\pi}{2} & & \pi \\\hline sin' (t)=-cos (t)& & - & & + & & - & \\ \hline & 0 & & & & 1 & & \\ sin (t) & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & \\ & & & -1 & & & & 1 \\ \hline \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|lcccr|} t & -\pi & & 0 & & \pi \\\hline cos' (t)=sin (t) & & + & & - & \\ \hline & & & 0 & & \\ cos (t) & & \nearrow & & \searrow & \\ & -1 & & & & -1 \\ \hline \end{array} $$

Une forme indéterminée classique

Une application classique du calcul sur les dérivées est de résoudre la forme indéterminée suivante : $$ \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{sin (x)}{x} = 1 $$ Il s'agit d'une astuce consistant à réécrire la définition de la dérivée de sin'(0) comme limite du taux d'accroissement : $$ sin'(0)=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{sin (x) - sin (0)}{x - 0} = \lim \limits_{x \rightarrow } \frac{sin (x)}{x} $$

Or, il s'agit exactement de la limite que l'on cherche à déterminer.

Mais comme on sait que sin'(0)=cos (0)=1, on obtient sa valeur.